Lineare Algebra Beispiele

Bestimme die Eigenwerte [[0,1],[-1,0]]
[01-10][0110]
Schritt 1
Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung p(λ)p(λ) zu ermitteln.
p(λ)=Determinante(A-λI2)p(λ)=Determinante(AλI2)
Schritt 2
Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe 22 ist die 2×22×2 Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.
[1001][1001]
Schritt 3
Setze die bekannten Werte in p(λ)=Determinante(A-λI2)p(λ)=Determinante(AλI2) ein.
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Schritt 3.1
Ersetze AA durch [01-10][0110].
p(λ)=Determinante([01-10]-λI2)p(λ)=Determinante([0110]λI2)
Schritt 3.2
Ersetze I2I2 durch [1001][1001].
p(λ)=Determinante([01-10]-λ[1001])p(λ)=Determinante([0110]λ[1001])
p(λ)=Determinante([01-10]-λ[1001])p(λ)=Determinante([0110]λ[1001])
Schritt 4
Vereinfache.
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Schritt 4.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 4.1.1
Multipliziere -λλ mit jedem Element der Matrix.
p(λ)=Determinante([01-10]+[-λ1-λ0-λ0-λ1])p(λ)=Determinante([0110]+[λ1λ0λ0λ1])
Schritt 4.1.2
Vereinfache jedes Element der Matrix.
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Schritt 4.1.2.1
Mutltipliziere -11 mit 11.
p(λ)=Determinante([01-10]+[-λ-λ0-λ0-λ1])p(λ)=Determinante([0110]+[λλ0λ0λ1])
Schritt 4.1.2.2
Multipliziere -λ0λ0.
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Schritt 4.1.2.2.1
Mutltipliziere 00 mit -11.
p(λ)=Determinante([01-10]+[-λ0λ-λ0-λ1])p(λ)=Determinante([0110]+[λ0λλ0λ1])
Schritt 4.1.2.2.2
Mutltipliziere 00 mit λλ.
p(λ)=Determinante([01-10]+[-λ0-λ0-λ1])p(λ)=Determinante([0110]+[λ0λ0λ1])
p(λ)=Determinante([01-10]+[-λ0-λ0-λ1])p(λ)=Determinante([0110]+[λ0λ0λ1])
Schritt 4.1.2.3
Multipliziere -λ0λ0.
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Schritt 4.1.2.3.1
Mutltipliziere 00 mit -11.
p(λ)=Determinante([01-10]+[-λ00λ-λ1])p(λ)=Determinante([0110]+[λ00λλ1])
Schritt 4.1.2.3.2
Mutltipliziere 0 mit λ.
p(λ)=Determinante([01-10]+[-λ00-λ1])
p(λ)=Determinante([01-10]+[-λ00-λ1])
Schritt 4.1.2.4
Mutltipliziere -1 mit 1.
p(λ)=Determinante([01-10]+[-λ00-λ])
p(λ)=Determinante([01-10]+[-λ00-λ])
p(λ)=Determinante([01-10]+[-λ00-λ])
Schritt 4.2
Addiere die entsprechenden Elemente.
p(λ)=Determinante[0-λ1+0-1+00-λ]
Schritt 4.3
Simplify each element.
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Schritt 4.3.1
Subtrahiere λ von 0.
p(λ)=Determinante[-λ1+0-1+00-λ]
Schritt 4.3.2
Addiere 1 und 0.
p(λ)=Determinante[-λ1-1+00-λ]
Schritt 4.3.3
Addiere -1 und 0.
p(λ)=Determinante[-λ1-10-λ]
Schritt 4.3.4
Subtrahiere λ von 0.
p(λ)=Determinante[-λ1-1-λ]
p(λ)=Determinante[-λ1-1-λ]
p(λ)=Determinante[-λ1-1-λ]
Schritt 5
Find the determinant.
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Schritt 5.1
Die Determinante einer 2×2-Matrix kann mithilfe der Formel |abcd|=ad-cb bestimmt werden.
p(λ)=-λ(-λ)-(-11)
Schritt 5.2
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 5.2.1
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
p(λ)=-1-1λλ-(-11)
Schritt 5.2.2
Multipliziere λ mit λ durch Addieren der Exponenten.
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Schritt 5.2.2.1
Bewege λ.
p(λ)=-1-1(λλ)-(-11)
Schritt 5.2.2.2
Mutltipliziere λ mit λ.
p(λ)=-1-1λ2-(-11)
p(λ)=-1-1λ2-(-11)
Schritt 5.2.3
Mutltipliziere -1 mit -1.
p(λ)=1λ2-(-11)
Schritt 5.2.4
Mutltipliziere λ2 mit 1.
p(λ)=λ2-(-11)
Schritt 5.2.5
Multipliziere -(-11).
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Schritt 5.2.5.1
Mutltipliziere -1 mit 1.
p(λ)=λ2--1
Schritt 5.2.5.2
Mutltipliziere -1 mit -1.
p(λ)=λ2+1
p(λ)=λ2+1
p(λ)=λ2+1
p(λ)=λ2+1
Schritt 6
Setze das charakteristische Polynom gleich 0, um die Eigenwerte λ zu ermitteln.
λ2+1=0
Schritt 7
Löse nach λ auf.
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Schritt 7.1
Subtrahiere 1 von beiden Seiten der Gleichung.
λ2=-1
Schritt 7.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
λ=±-1
Schritt 7.3
Schreibe -1 als i um.
λ=±i
Schritt 7.4
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
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Schritt 7.4.1
Verwende zunächst den positiven Wert des ±, um die erste Lösung zu finden.
λ=i
Schritt 7.4.2
Als Nächstes verwende den negativen Wert von ±, um die zweite Lösung zu finden.
λ=-i
Schritt 7.4.3
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
λ=i,-i
λ=i,-i
λ=i,-i
 [x2  12  π  xdx ]