Lineare Algebra Beispiele

[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung

p (λ)

$p (λ)$ zu ermitteln.

p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})$

Schritt 2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe

2

$2$ ist die

2 \times 2

$2 \times 2$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in

p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})$ ein.

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Schritt 3.1

Ersetze

A

$A$ durch

[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}]$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] - λ I_{2})

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] - λ I_{2})$

Schritt 3.2

Ersetze

I_{2}

$I_{2}$ durch

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere

- λ

$- λ$ mit jedem Element der Matrix.

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

1

$1$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere

0

$0$ mit

- 1

$- 1$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere

0

$0$ mit

λ

$λ$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere

0

$0$ mit

- 1

$- 1$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere

0

$0$ mit

λ

$λ$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

1

$1$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 0 - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 0 - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3

Simplify each element.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere

λ

$λ$ von

0

$0$ .

p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Addiere

1

$1$ und

0

$0$ .

p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.3

Addiere

- 1

$- 1$ und

0

$0$ .

p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & 0 - λ \end{array}]

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.4

Subtrahiere

λ

$λ$ von

0

$0$ .

p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & - λ \end{array}]

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & - λ \end{array}]$

p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & - λ \end{array}]

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & - λ \end{array}]$

p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & - λ \end{array}]

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & - λ \end{array}]$

Schritt 5

Find the determinant.

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Schritt 5.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

p (λ) = - λ (- λ) - (- 1 \cdot 1)

$p (λ) = - λ (- λ) - (- 1 \cdot 1)$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 1)

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 1)$

Schritt 5.2.2

Multipliziere

λ

$λ$ mit

λ

$λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1

Bewege

λ

$λ$ .

p (λ) = - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 1)

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 1)$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere

λ

$λ$ mit

λ

$λ$ .

p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 1

$- 1$ .

p (λ) = 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)

$p (λ) = 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Schritt 5.2.4

Mutltipliziere

λ^{2}

$λ^{2}$ mit

1

$1$ .

p (λ) = λ^{2} - (- 1 \cdot 1)

$p (λ) = λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Schritt 5.2.5

Multipliziere

- (- 1 \cdot 1)

$- (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 5.2.5.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

1

$1$ .

p (λ) = λ^{2} - - 1

$p (λ) = λ^{2} - - 1$

Schritt 5.2.5.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 1

$- 1$ .

p (λ) = λ^{2} + 1

$p (λ) = λ^{2} + 1$

p (λ) = λ^{2} + 1

$p (λ) = λ^{2} + 1$

p (λ) = λ^{2} + 1

$p (λ) = λ^{2} + 1$

p (λ) = λ^{2} + 1

$p (λ) = λ^{2} + 1$

Schritt 6

Setze das charakteristische Polynom gleich

0

$0$ , um die Eigenwerte

λ

$λ$ zu ermitteln.

λ^{2} + 1 = 0

$λ^{2} + 1 = 0$

Schritt 7

Löse nach

λ

$λ$ auf.

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Schritt 7.1

Subtrahiere

1

$1$ von beiden Seiten der Gleichung.

λ^{2} = - 1

$λ^{2} = - 1$

Schritt 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

λ = \pm \sqrt{- 1}

$λ = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 7.3

Schreibe

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ als

i

$i$ um.

λ = \pm i

$λ = \pm i$

Schritt 7.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des

\pm

$\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

λ = i

$λ = i$

Schritt 7.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von

\pm

$\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

λ = - i

$λ = - i$

Schritt 7.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

λ = i, - i

$λ = i, - i$

λ = i, - i

$λ = i, - i$

λ = i, - i

$λ = i, - i$